Tìm điểm $M$ có hoành độ âm trên đồ thị $(C)$: $y=\frac{1}{3}{x}^3-x+\frac{2}{3}$ sao cho tiếp tuyến tại $M$ vuông góc với đường thẳng $y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$.

Cho hàm số $f(x)=\ln |x|$. Điểm $A$ thuộc đồ thị hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $A$ có hệ số góc bằng $-\frac{1}{8}$. Tung độ của điểm $A$ bằng

Cho hàm số $f(x)=\ln |x|$. Điểm $A$ thuộc đồ thị hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $A$ có hệ số góc bằng $-\frac{1}{8}$. Tung độ của điểm $A$ bằng

Cho đồ thị hàm số $y=f(x)=x^2-6x+5$ $(C)$.

a) Cho hàm số $y=\frac{3x+2}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y=x+2$.

b) Cầu Nhật Tân bắc qua sông Hồng được xem là chiếc cầu dây văng dài nhất Việt Nam năm 2022. Cầu có 5 trụ tháp chính kết nối các nhịp dây văng nâng đỡ toàn bộ phần chính của cây cầu, cũng là đề tượng trưng cho 5 cửa ô kính của Hà Nội. Mỗi trụ tháp được kiến trúc tạo dáng mỹ thuật phía trong bằng đường cong tựa như một parabol.

Giả sử rằng mặt trong của trụ cầu là một Parabol như hình dưới. Biết khoảng cách giữa hai chân trụ bằng 43m. Trên thành trụ cầu, tại vị trí có độ cao 1,87m so với mặt đất (điểm $M$), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân trụ cầu $A$ một đoạn 0,2m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Tính độ dốc của trụ cầu tại điểm $M$ (đơn vị đo độ), (độ dốc tại điểm $M$ được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với thành trụ cầu tại điểm $M$ và phương ngang $AB$ như hình vẽ), kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x+2}$ tại điểm có hoành độ bằng 3 là

Cho hàm số $y=x^3-2x+2025$ có đồ thị $(C)$. Hệ số góc $k$ của tiếp tuyến với $(C)$ tại điểm có hoành độ bằng 1 là