Thể tích $V$ của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C):y=4-x^2$ và trục hoành quanh trục $Ox$ là

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=e^x$, các đường thẳng $x=0,x=\ln 3$ và trục hoành. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi $(H)$ khi quay quanh trục hoành là

Một nghệ nhân tại làng nghề đúc đồng, nhận chế tác các mẫu đôn trang trí cao cấp bằng đồng. Mỗi chiếc đôn có dạng khối tròn xoay đặc, cao $50\text{ cm}$, với thiết kế mềm mại và cân đối quanh một trục thẳng đứng (xem hình vẽ bên dưới). Khi cắt chiếc đôn bởi một mặt cắt bất kỳ đi qua trục đối xứng, ta thu được một thiết diện giới hạn bởi hai đường parabol đối xứng nhau qua trục này. Theo yêu cầu thiết kế: Mặt trên và mặt đáy của đôn đều là hình tròn có đường kính $40\text{ cm}$; phần thân được bo thon đều về phía trung tâm, tại đó đường kính nhỏ nhất là $30\text{ cm}$. Biết khối lượng riêng của đồng là $8960{\text{ kg/m}}^3$, giá đồng là $220$ nghìn đồng cho mỗi kilôgam và chi phí gia công cho mỗi sản phẩm là $10$ triệu đồng (lượng đồng hao hụt trong quá trình gia công được xem là không đáng kể). Tổng chi phí để hoàn thiện một chiếc đôn theo thiết kế trên là bao nhiêu triệu đồng? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)

Bạn Việt có một bể cá mini có dạng hình tròn xoay. Việt vẽ mô phỏng bể cá cắt theo một mặt phẳng vuông góc với đáy và đi qua trục của nó thì được thiết diện là một phần của hình elip có độ dài trục lớn bằng $40\text{ cm}$, độ dài trục bé bằng $18\text{ cm}$, bạn Việt đo được chiều cao của bể cá là $30\text{ cm}$ và khoảng cách từ tâm Elip đến cạnh là giao tuyến của thiết diện trên với mặt đáy của bể cá là $15\text{ cm}$ (tham khảo hình vẽ). Mức nước đang có trong bình cao bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao của bể cá. Hỏi thể tích nước trong bình chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích của bể cá (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Thể tích của khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, trục hoành, $x=0$ và $x=4$ là

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=3x-x^2$ và trục hoành. Khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục hoành có thể tích bằng

Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^{2x},y=0,x=0,x=1$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $(H)$ xung quanh trục $Ox$ bằng