Số nghiệm nguyên thuộc đoạn $[-20;20]$ của bất phương trình $2^{2x+1}-9\cdot 2^x+4\sqrt{x^2+2x-3}\ge 0$ là

Điều kiện xác định: $x^2+2x-3\ge 0\iff [<table><tbody><tr><td>x\le -3</td></tr><tr><td>x\ge 1</td></tr></tbody></table>$.

- Với $x\le -3$: $2^{2x+1}-9\cdot 2^x=2^x(2^{x+1}-9)>-9$, còn khi $x\le -4$ thì $4\sqrt{x^2+2x-3}\ge 4\sqrt{5}>8,94>9\cdot 2^{-4}$, nên mọi $x\in [-20;-3]\cap \mathbb{Z}$ ($18$ giá trị) đều thỏa mãn.
- Với $x\ge 1$: tại $x=1,2$ thay vào trực tiếp: $x=1\Rightarrow 8-18+0=-10<0$ (loại); $x=2\Rightarrow 32-36+4\sqrt{5}>0$ (thỏa mãn). Với $x\ge 3$ thì $2^{2x+1}-9\cdot 2^x=2^x(2^{x+1}-9)>0$ nên luôn thỏa mãn, có $x\in \{2;3;\dots ;20\}$ ($19$ giá trị? Kiểm tra $x=-3$: $2^{-5}-9\cdot 2^{-3}+0<0$ nên $x=-3$ loại, có $17$ giá trị âm $\{-20;\dots ;-4\}$ và $19$ giá trị dương $\{2;\dots ;20\}$).

Vậy có tất cả $17+19=36$ nghiệm nguyên.