Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ được tính bằng

Cho số nguyên dương $n$ và tập hợp $A$ gồm $60n+1$ số nguyên dương không vượt quá $210n$ và nguyên tố cùng nhau với 14. Chứng minh rằng trong $A$ luôn tồn tại hai số mà một số chia hết cho ba lần số còn lại.

Sau khi thi tốt nghiệp trung học phổ thông, các em học sinh khối 12 của trường trung học phổ thông A đã hẹn nhau mỗi năm họp mặt một lần vào ngày hội trại của trường. Tuy nhiên qua 10 lần họp mặt thì nhận thấy mỗi lần họp mặt chỉ có đúng 20 thành viên tham dự và 2 lần họp mặt bất kỳ trong 10 lần họp mặt không có chung quá 2 thành viên. Hỏi khối 12 năm học đó của trường trung học phổ thông A có ít nhất bao nhiêu học sinh?

Câu 3. (3 điểm)
1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số mà trong mỗi số lập được chữ số liền sau luôn lớn hơn chữ số liền trước.
2. Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất để sau 3 bước đi quân vua trở về ô xuất phát.

Cho tứ diện $ABCD$. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ $\vec{0}$ mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện $ABCD$?

Một nhóm gồm 6 bạn nam trong đó có Hùng và 4 bạn nữ xếp hàng để chụp ảnh lưu niệm. Mọi người đứng thành 2 hàng, mỗi hàng 5 người. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng để Hùng đứng liền giữa 2 bạn nam đồng thời không có 2 bạn nữ trong một hàng đứng cạnh nhau.

Cho tập hợp $S=\{1;2;3;4;5;6\}$. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau lấy từ tập hợp $S$?