Sau một trận mưa lớn, lượng nước mưa đổ vào bể chứa của một trạm bơm được mô phỏng bởi hàm số lưu lượng $v(t)=100+20t-t^2{\text{ (m}}^3\text{/phuˊt)}$, với $t$ là thời gian tính bằng phút ($0\le t\le 25$). Tại thời điểm $t=0$, bể chứa đang có sẵn $650{\text{ m}}^3$ nước.

Câu 3. Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón. Gọi $P(x)$ là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán $x$ (tấn) sản phẩm trong một tuần. Khi đó đạo hàm $P^{\prime }(x)$ gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức $P^{\prime }(x)=17-0,025x$ với $0\le x\le 1000$. Biết nhà máy lỗ 24 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Ông An bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h(t)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ giây. Cho $h^{\prime }(t)=2at+5b$ $({\text{m}}^3/\text{s})$ và ban đầu bể không có nước. Sau $4$ giây thì thể tích nước trong bể là $2080{\text{m}}^3$. Sau $8$ giây thì thể tích nước trong bể là $4320{\text{m}}^3$. Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được $10$ giây là bao nhiêu?

Trong một nhà máy, tốc độ tiêu thụ điện năng của một dây chuyền sản xuất sau khi khởi động có xu hướng giảm dần theo thời gian và tiến về mức ổn định. Giả sử sau khi bắt đầu vận hành được $t$ giờ, tốc độ tiêu thụ điện năng của dây chuyền sản xuất này được mô hình bởi hàm số $E^{\prime }(t)=A+e^{-0,4t}$ (đơn vị: $\text{kWh}$/giờ) ($0\le t\le 10$), trong đó $E(t)$ ($\text{kWh}$) là lượng điện năng tiêu thụ tính từ lúc bắt đầu vận hành, $A$ là hằng số dương. Biết rằng trong $10$ giờ đầu tiên, dây chuyền đã tiêu thụ tổng cộng $150\text{ kWh}$.

Một bể cá hình trụ thủy tinh có bán kính đáy bằng $6\text{ dm}$, chiều cao bằng $5\text{ dm}$; bên trong bể cá người ta đặt một vật trang trí là khối nón đặc (đỉnh hình nón sẽ được bố trí vòi bơm nước cho bể cá), đáy hình nón có bán kính bằng $3\text{ dm}$ và có tâm trùng với đáy hình trụ, chiều cao hình nón bằng với chiều cao hình trụ. Người ta bơm nước vào bể với tốc độ $0,5\text{ lıˊt/phuˊt}$; đến phút thứ 40 thì tốc độ dâng lên của nước là bao nhiêu cm/phút (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong một dự án khai thác khí đốt, gọi $t$ (tháng) là thời gian tính từ thời điểm bắt đầu khai thác, với $0\le t\le 400$. Tốc độ khai thác khí đốt tại thời điểm $t$ được cho bởi hàm số $V^{\prime }(t)=400-t$ (đơn vị: nghìn ${\text{m}}^3$/tháng), trong đó $V(t)$ là tổng lượng khí đã khai thác được từ lúc bắt đầu đến thời điểm $t$ (đơn vị: nghìn ${\text{m}}^3$), $V(0)=0$. Để đơn giản hóa việc tính toán, đơn giá bán khí đốt tại thời điểm $t$ được mô hình hóa bởi hàm số $P(t)=10+0,02t$ (đơn vị: triệu đồng/nghìn ${\text{m}}^3$).

Mặt bể bơi của một dự án chung cư cao cấp có dạng một hình chữ nhật với chiều dài 25m và chiều rộng 8m. Bể bơi sâu 1m ở bên đầu nông và sâu 2m bên đầu sâu. Biết hai đầu nông, sâu thuộc hai bên theo chiều dài của bể bơi (tham khảo hình vẽ minh họa). Ban đầu bể không có nước, nước bắt đầu được bơm vào bể lúc 7 giờ sáng với tốc độ $1{\text{ m}}^3$ mỗi phút. Vào lúc 7 giờ 36 phút sáng thì mực nước dâng lên với tốc độ $\frac{1}{a}\text{ m/phuˊt}$. Giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?