Người ta xây một cổng chào hình Parabol biết khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ dưới chân cổng là $40m$, chiều cao từ đỉnh cổng đến mặt đất là $24m$. Tính gần đúng độ dốc tối đa của cổng? (Độ dốc của cổng tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với bề mặt Parabol và phương ngang).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục tọa độ: gốc $O$ tại trung điểm $AB$ trên mặt đất, trục $Ox$ nằm ngang, trục $Oy$ thẳng đứng qua đỉnh cổng. Khi đó $A(-20;0)$, $B(20;0)$, đỉnh cổng $(0;24)$. Parabol có dạng $y=a{x}^2+24$. Thay điểm $B(20;0)$: $400a+24=0\Rightarrow a=-0,06$. Vậy $y=-0,06x^2+24$, với $x\in [-20;20]$.

Độ dốc tại điểm hoành độ $x$ là góc $\alpha$ giữa tiếp tuyến và phương ngang, với $\tan \alpha =|y^{\prime }|=0,12|x|$.

Độ dốc tối đa đạt tại chân cổng $x=\pm 20$: $\tan {\alpha }_{max}=0,12\cdot 20=2,4$.

Suy ra ${\alpha }_{max}=\arctan (2,4)\approx 67,38^{\circ }\approx 67^{\circ }23^{\prime }$.

Vậy độ dốc tối đa của cổng gần đúng bằng $67,4^{\circ }$ (khoảng $67^{\circ }$).