Một màn hình trong rạp chiếu phim được đặt cách mặt sàn 4 m và có chiều cao 10 m. Hàng ghế đầu tiên được đặt cách màn hình 3 m. Sàn khu vực ghế ngồi nghiêng một góc $\alpha =30^0$ so với đường nằm ngang. Một người ngồi trên ghế xem, biết rằng mắt ở độ cao 1 m so với chân ghế. Gọi $x$ (m) là khoảng cách dọc theo mặt sàn nghiêng từ hàng ghế đầu tiên đến vị trí ngồi. Biết góc nhìn lớn nhất đến màn hình của 1 khán giả khi ngồi ở vị trí thích hợp là $\theta =51^0$. Tìm $x$? (làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: đáy màn hình cách sàn 4 m, đỉnh màn hình cao 14 m. Sàn nghiêng góc 30° bắt đầu từ điểm cách màn hình 3 m (theo hình vẽ). Gọi $u=h-4$ với $h$ là độ cao mắt so với mặt đất. Khi đó $h=4+u$, khoảng cách ngang từ mắt đến màn hình là $d=3+x\cos 30^{\circ }$, và vì mắt cao 1 m so với chân ghế nên $h=1+x\sin 30^{\circ }=1+\frac{x}{2}$, suy ra $x=2(u+3)$ và $d=3+\sqrt{3}(u+3)=3+3\sqrt{3}+\sqrt{3}u$.

Góc nhìn $\theta$ giữa hai tia nhìn tới đáy (4 m) và đỉnh (14 m) màn hình:
$$\tan \theta =\frac{10d}{d^2+(4-h)(14-h)}=\frac{10d}{d^2+u^2-10u}.$$

Để $\theta$ lớn nhất, lấy đạo hàm của $g(u)=\frac{d}{d^2+u^2-10u}$ với $d=3+3\sqrt{3}+\sqrt{3}u$ bằng 0:
$$\sqrt{3}(d^2+u^2-10u)-d(2\sqrt{3}d+2u-10)=0.$$

Giải phương trình này bằng cách thử số: với $u=-0,55$ vế trái $\approx -0,4$; với $u=-0,56$ vế trái $\approx 0,19$; nghiệm $u\approx -0,5565$.

Khi đó $x=2(u+3)\approx 2(2,4435)\approx 4,887\approx 4,89$ m.

Kiểm tra: tại $u\approx -0,5565$, $d\approx 7,233$, $\tan \theta =\frac{10\cdot 7,233}{52,32+0,31+5,565}=\frac{72,33}{58,19}\approx 1,243\Rightarrow \theta \approx 51,2^{\circ }\approx 51^{\circ }$, khớp với đề bài.

Vậy $x\approx 4,89$ m, trùng với đáp án nguồn 4,89.