Một hộp quà được gắn với hệ tọa độ $Oxyz$ như hình có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng $x$ sao cho $O\equiv D_1$, $C_1\in Ox$, $A_1\in Oy$, $D\in Oz$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ tọa độ: $D_1=O(0;0;0)$, $C_1(1;0;0)$, $A_1(0;1;0)$, $D(0;0;x)$, nên $B_1(1;1;0)$, $B(1;1;x)$, $C(1;0;x)$. Mặt phẳng $(A_1{B}_1{C}_1{D}_1)$ là $z=0$ với pháp tuyến $(0;0;1)$.

a) $(1;0;-1)$ không song song với $(0;0;1)$ nên không là pháp tuyến của $z=0$ → Sai.

b) $x=3$: $\overrightarrow{B_{1}D}=(-1;-1;3)$, $|\overrightarrow{B_{1}D}|=\sqrt{11}$. $\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{11}}\approx 0,9045\Rightarrow \alpha \approx 64,8^{\circ }\ne 60^{\circ }$ → Sai.

c) $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$: $(C{B}_1{D}_1)$ qua $D_1(0;0;0)$, $\overrightarrow{C{B}_1}=(0;1;-x)$, $\overrightarrow{C{D}_1}=(-1;0;-x)$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{C{B}_1}\times \overrightarrow{C{D}_1}=(-x;x;1)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2};1\right)$, $|\vec{n}|=\sqrt{2}$. $\cos \phi =\frac{|1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \phi =45^{\circ }$ → Đúng.

d) $\sin \alpha =\frac{x}{\sqrt{2+x^2}}$ đồng biến theo $x>0$, góc lớn nhất khi $x\to +\infty$ (tiệm cận $90^{\circ }$), không đạt tại $x=4$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(A_1{B}_1{C}_1{D}_1)$ là mặt $z=0$, pháp tuyến $(0;0;1)$; $(1;0;-1)$ không cùng phương với nó.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{11}}\Rightarrow \alpha \approx 64,8^{\circ }\ne 60^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến $(C{B}_1{D}_1)$ là $(-x;x;1)$ với $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \phi =45^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =\frac{x}{\sqrt{2+x^2}}$ đồng biến, góc lớn nhất khi $x\to +\infty$, không phải $x=4$.