Một hộp chứa $10$ viên bi có cùng kích thước bao gồm $6$ viên bi màu đỏ được đánh số khác nhau từ $1$ đến $6$ và $4$ viên bi màu xanh được đánh số khác nhau từ $1$ đến $4$. Lấy ngẫu nhiên đồng thời từ hộp đó ra $2$ viên bi, hãy tính xác suất để $2$ viên bi lấy ra khác màu và khác số.

Hộp thứ nhất chứa 6 viên bi vàng, 3 viên bi xanh. Hộp thứ hai chứa 5 viên bi vàng, 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lấy ra 2 viên bi bất kỳ từ hộp thứ hai.

Xếp ngẫu nhiên năm học sinh ngồi vào tám cái ghế giống nhau được sắp trên một hàng ngang (mỗi ghế chỉ ngồi được một học sinh). Tính xác suất sao cho có ít nhất hai ghế trống kề nhau.

Một cái hộp chứa 15 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 15. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ. Tính xác suất để lấy được hai thẻ sao cho tích hai số trên hai thẻ là số chia hết cho 2.

Trong một cuộc giao lưu học sinh giỏi cấp tỉnh, ban tổ chức chọn $12$ em trong danh sách học sinh đạt giải mời lên phỏng vấn. Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, mỗi dãy có sáu ghế và mỗi ghế chỉ ngồi được một học sinh. Tính xác suất để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau biết rằng các em đó có số thứ tự trong danh sách lập thành một cấp số cộng.

Một hộp chứa 5 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp. Xác suất để lấy được 2 viên bi khác màu bằng

Một khóa mã số sử dụng mật khẩu là một dãy gồm $5$ chữ số phân biệt từ $1$ đến $9$. Một mật khẩu được gọi là mạnh nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i) Không có hai chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau.
ii) Chữ số đứng sau luôn lớn hơn chữ số đứng trước hoặc luôn nhỏ hơn chữ số đứng trước.
Chọn ngẫu nhiên một mật khẩu. Xác suất để chọn được mật khẩu mạnh bằng $a\cdot 10^{-3}$. Tính giá trị của $a$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).