Một hội trường lớn có 27 ghế ở hàng đầu tiên, 29 ghế ở hàng thứ hai, 31 ghế ở hàng thứ ba và cứ tiếp tục theo quy luật như vậy (số ghế ở hàng ghế sau luôn nhiều hơn so với hàng ghế ngay sát phía trước nó là 2 ghế). Hỏi để xếp 1275 ghế vào hội trường thì hàng cuối cùng có bao nhiêu ghế?

Một công ty lập quỹ từ thiện trong hai giai đoạn:

Giai đoạn 1 (5 tháng đầu): Tháng đầu số tiền đưa vào quỹ là 18 triệu đồng, mỗi tháng sau số tiền đưa vào quỹ tăng đều 3 triệu đồng so với tháng liền trước.

Giai đoạn 2 (từ tháng thứ 6 trở đi): Mỗi tháng số tiền đưa vào quỹ tăng 20\% so với tháng liền trước.

Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?

Một CLB Toán học tổ chức trò chơi sử dụng đồng xu để xếp thành một cái tháp. Nhóm đã sử dụng 60723 đồng xu để xếp một mô hình tháp. Biết rằng tầng dưới cùng có 3809 đồng xu và cứ lên thêm một tầng thì số đồng xu giảm đi 120 đồng xu. Hỏi mô hình tháp có tất cả bao nhiêu tầng?

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có tất cả các số hạng đều dương, số hạng đầu $u_1=1$ và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 24850. Khi đó
$$S=\frac{1}{u_2\sqrt{u_1}+u_1\sqrt{u_2}}+\frac{1}{u_3\sqrt{u_2}+u_2\sqrt{u_3}}+\dots +\frac{1}{u_{2025}\sqrt{u_{2024}}+u_{2024}\sqrt{u_{2025}}}=\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{\sqrt{b}}\right).$$
Tính giá trị của biểu thức $P=-2024a+b$.

Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát là $u_n=2-9n$.
1. Chứng minh dãy số trên là một cấp số cộng. Tìm công sai của cấp số cộng trên.
2. Tính $u_1+u_2+\dots +u_{50}$.
3. Tính $S=u_{15}+u_{16}+\dots +u_{45}$.

Bé An luyện tập khiêu vũ cho buổi dạ hội cuối khóa. Bé bắt đầu luyện tập trong $1$ giờ vào ngày đầu tiên. Mỗi ngày tiếp theo, bé tăng thêm $5$ phút luyện tập so với ngày trước đó. Hỏi sau một tuần, tổng thời gian bé An đã luyện tập là bao nhiêu phút?