Một hoa văn trang trí được thiết kế gồm hai đường tròn đồng tâm và bốn phần của bốn đường parabol chung đỉnh (đỉnh là tâm của hai đường tròn). Biết rằng hai đường tròn đó có bán kính lần lượt là $20\text{ cm}$ và $16\text{ cm}$; bốn đường parabol đó đôi một cắt nhau tại bốn điểm (khác đỉnh của parabol) là bốn đỉnh của một hình vuông nội tiếp đường tròn nhỏ (như hình vẽ bên). Tính diện tích phần tô đậm (kết quả được tính theo ${\text{cm}}^2$ và làm tròn đến hàng đơn vị).

Nhà bác An có tất cả $8$ cánh cửa sắt hình chữ nhật với chiều dài $2\text{m}$ và chiều rộng $1\text{m}$. Hai mặt của mỗi cánh cửa được thiết kế như hình vẽ dưới đây. Trong đó, phần được tô đậm được sơn màu xanh, phần còn lại được sơn màu trắng. Mỗi phần sơn màu trắng có đường biên cong là một phần của parabol có đỉnh nằm trên cạnh của hình chữ nhật. Biết rằng chi phí để sơn màu xanh là $120$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$ và chi phí sơn màu trắng là $110$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$. Hỏi để sơn toàn bộ số cửa sắt trên, bác An phải trả bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị triệu đồng).

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới $f(1)=0$; $f^{\prime \prime }\left(\frac{2}{3}\right)=0$ và $f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{20}{27}$. Biết hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại hai điểm $x_1,x_2$ thỏa mãn $3x_2-6x_1=3\sqrt{7}-2$. Gọi $S_1$ và $S_2$ là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên dưới. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{4}{x}^3+x$. Đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $P(2;f(2))$ cắt đường thẳng $\Delta :y=-x+3$ tại điểm $Q$. Gọi $R$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với trục hoành. Gọi $A$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f(x)$, đường thẳng $\Delta$ và đoạn thẳng $PQ$; $B$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f(x)$, đường thẳng $\Delta$ và đoạn thẳng $OR$. Giá trị của $B-A$ là

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+3x$ và $g(x)=m{x}^3+n{x}^2-x$, với $a,b,c,m,n\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $y=f(x)-g(x)$ có ba điểm cực trị là $-1;1$ và $2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f^{\prime }(x)$ và $y=g^{\prime }(x)$ bằng

Cho đồ thị của các hàm số $f(x)=-x^4+x$, $g(x)=x^4-x^3$ và $h(x)=a(x-x^2)$ ($a\in \mathbb{R}$) tạo thành hai miền hình phẳng có diện tích $S_1,S_2$ như hình vẽ ($S_1$ là phần màu trắng, $S_2$ là phần được tô màu). Biết $S_1=2S_2$, hỏi giá trị của biểu thức $1-30a$ bằng bao nhiêu?

Cho hai hàm đa thức bậc $4$ và bậc $3$ là $y=f(x),y=g(x)$ (hình vẽ dưới đây chỉ mang tính chất minh họa). Biết rằng hai đồ thị $y=g(x),y=f(x)$ tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ bằng $1$ và cắt nhau tại $2$ điểm khác có hoành độ lần lượt là $-2;0$. Gọi $S_1,S_2$ lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên ở nửa mặt phẳng bên trái và nửa bên phải của trục tung. Khi $S_2=\frac{2}{15}$ thì