Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ).

Góc giữa hai đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $CD$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(S):x^2+y^2+z^2+4x-2y+2z-11=0$. Tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ có tọa độ là

Cho hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[a,b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ được tính bởi công thức

Nghiệm của phương trình ${\log }_3(x+1)=2$ là

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tập nghiệm của bất phương trình $5^x\ge 9$ là

Đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x+3}$ có đường tiệm cận ngang là

Một nhà máy có hai phân xưởng I và II. Phân xưởng I sản xuất $50\%$ số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất $50\%$ số sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là $3\%$ và của phân xưởng II là $1\%$. Kiểm tra ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. Gọi $A$ là biến cố "Sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng I sản xuất" và $B$ là biến cố "Sản phẩm được kiểm tra bị lỗi".

Cho hai hàm số $f(x)=\frac{x^2}{8}-\frac{x}{4}+\frac{9}{8}$ và $g(x)=x$.

Một nhóm kỹ sư sử dụng flycam để giám sát một công trình điện mặt trời. Họ mô phỏng không gian công trình trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục là mét. Mặt đất được xem là mặt phẳng $(Oxy)$, mái của công trình là một mặt phẳng song song với mặt đất và cách mặt đất $4\text{ m}$. Flycam bay theo đường thẳng bắt đầu từ điểm $A(11;-15;0)$ đến điểm $B(0;-6;13)$, sau đó từ điểm $B$ flycam tiếp tục bay theo đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec{v}=(1;1;-2)$ để tìm một vị trí điểm $M$ phù hợp cho việc giám sát công nhân trên mái.

Cho hàm số $f(x)=3x+\sin 3x$.

Phương thức tính lãi kép là việc tính tiền lãi bằng cách lấy số tiền lãi của kì trước nhập vào vốn để tính lãi cho kì tiếp theo.
Tỉ lệ lạm phát được tính bằng tỉ lệ phần trăm sự thay đổi giá của hàng hóa, dịch vụ trong một khoảng thời gian (thường là một năm). Nếu tỉ lệ lạm phát của năm sau so với năm trước là $i$ thì $A$ đồng của năm trước có giá trị tương đương với $A(1+i)$ đồng của năm sau.
Một người đầu tư bằng cách góp vốn $1$ tỉ đồng vào công ty X trong $2$ năm với lãi suất không đổi $8\%$/năm theo phương thức tính lãi kép. Giả sử trong $2$ năm đó, tỉ lệ lạm phát mỗi năm lần lượt là $3,7\%$ và $4,2\%$. Gọi $a$ (triệu đồng) là số tiền cả vốn lẫn lãi người đó nhận được sau $2$ năm đầu tư. Gọi $b$ (triệu đồng) là giá trị tương đương của số tiền vốn $1$ tỉ đồng sau $2$ năm có tính đến yếu tố lạm phát. Tính $a-b$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hộp thứ nhất có $4$ viên bi xanh và $1$ viên bi đỏ. Hộp thứ hai có $3$ viên bi xanh và $6$ viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời $2$ viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên đồng thời $2$ viên bi từ hộp thứ hai. Biết rằng $2$ viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai đều là bi xanh. Tính xác suất để $2$ viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu khác nhau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một khu vực trồng hoa được xây dựng trong khu du lịch sinh thái. Trong mô hình minh họa (như hình vẽ bên), nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị $(C)$ của một hàm số bậc ba. Biết rằng đồ thị $(C)$ đi qua các điểm $A(0;8),B(2;5,4),K(5;6,75)$ và $H(8;0)$. Trong khu du lịch sinh thái có một con đường chạy dọc theo đường thẳng $d:y=-\frac{13}{9}x+\frac{169}{9}$. Tìm hoành độ của điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $d$ là nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một thiết bị phát sóng wifi được đặt tại vị trí $I(3;4;2)$. Vùng phủ sóng của thiết bị là một hình cầu có bán kính $R=10\text{ m}$. Một người sử dụng điện thoại đứng ở vị trí $K(x-7;7;1)$. Sau đó, người đó di chuyển đến vị trí $H(x+11;7;1)$. Tìm giá trị nguyên của $x$ sao cho cả hai vị trí $K$ và $H$ đều có thể bắt được tín hiệu wifi từ thiết bị.

Một hoa văn trang trí được thiết kế gồm hai đường tròn đồng tâm và bốn phần của bốn đường parabol chung đỉnh (đỉnh là tâm của hai đường tròn). Biết rằng hai đường tròn đó có bán kính lần lượt là $20\text{ cm}$ và $16\text{ cm}$; bốn đường parabol đó đôi một cắt nhau tại bốn điểm (khác đỉnh của parabol) là bốn đỉnh của một hình vuông nội tiếp đường tròn nhỏ (như hình vẽ bên). Tính diện tích phần tô đậm (kết quả được tính theo ${\text{cm}}^2$ và làm tròn đến hàng đơn vị).

Một khối trang trí trong suốt có dạng khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $20\text{ cm}$. Khối chóp đó có phần rỗng bên trong chứa dung dịch màu. Biết rằng phần rỗng đó được tạo thành từ đỉnh, tâm của đáy và trọng tâm bốn mặt bên của khối chóp tứ giác đều ban đầu (như hình vẽ bên). Tính thể tích phần rỗng đó (kết quả được tính theo ${\text{cm}}^3$ và làm tròn đến hàng đơn vị).