Một chiếc đèn chùm được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn cáp $SA,SB,SC,SD$ sao cho $SA=SB=SC=SD$ và $ABCD$ là hình vuông, góc $\widehat{BSD}=120^{\circ }$ (xem hình vẽ).

Biết độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp $8\sqrt{3}$ $(N)$. Độ lớn của trọng lực $\vec{P}$ tác động lên chiếc đèn chùm bằng $a\sqrt{b}(N)$. Tìm $a+b$ (biết $a,b$ là hai số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Vì $SA=SB=SC=SD$ nên $S$ nằm trên đường thẳng qua $O$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Trong tam giác $SBD$ cân tại $S$ với $\widehat{BSD}=120^{\circ }$, gọi $SB=L$ thì $BD=2L\sin 60^{\circ }=L\sqrt{3}$, suy ra $OB=\frac{BD}{2}=\frac{L\sqrt{3}}{2}$. Chiều cao $SO=\sqrt{L^2-\frac{3L^2}{4}}=\frac{L}{2}$. Góc giữa mỗi sợi cáp và phương thẳng đứng thỏa $\sin \theta =\frac{OB}{SB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $\theta =60^{\circ }$. Thành phần thẳng đứng của lực căng mỗi dây: $T\cos 60^{\circ }=8\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=4\sqrt{3}$ (N). Do đối xứng, các thành phần ngang triệt tiêu, cân bằng cho $P=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$ (N). Vậy $a=16$, $b=3$, $a+b=19$.