Kí hiệu $h(x)$ là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng $x$ năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 3 m; trong các năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ $h^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{2}}{x}$ (tính theo mét/năm). Chiều cao của cây đó sau 5 năm bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Khi đun nước, nhiệt độ ban đầu của nước trong ấm là 20°C và tăng dần với tốc độ $T_1^{\prime }(t)=75e^{-t}$ (°C/phút), trong đó $t\ge 0$ (phút) là thời gian tính từ lúc bếp được bật lên. Khi nước trong ấm đạt 85°C thì bếp được tắt đi và nhiệt độ $T$°C của nước trong ấm khi này xác định theo công thức $T_2(t)=15+a{e}^{\frac{-t}{20}}$ với $t\ge 0$, trong đó $a$ là hằng số và $t$ (phút) là thời gian tính từ lúc tắt bếp.

Khi đun nước, nhiệt độ ban đầu của nước trong ấm là $20^{\circ }$C và tăng dần với tốc độ $T_1^{\prime }(t)=75{\mathrm{e}}^{-t}$ (${}^{\circ }$C/phút), trong đó $t\ge 0$ (phút) là thời gian tính từ lúc bếp được bật lên. Khi nước trong ấm đạt $85^{\circ }$C thì bếp được tắt đi và nhiệt độ $T{}^{\circ }$C của nước trong ấm khi này xác định theo công thức $T_2(t)=15+a{\mathrm{e}}^{\frac{-t}{20}}$ với $t\ge 0$, trong đó $a$ là hằng số và $t$ (phút) là thời gian tính từ lúc tắt bếp.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=x^2-2x-3$ và $f(0)=1$. Khi đó $f(x)$ bằng

Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos x$ thoả mãn $F(0)=0$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho $F(x),G(x)$ là các nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Biết $F(x)=2^x\cos x$ và $G(0)=2$. Khi đó $F(0)-G\left(\frac{\pi }{2}\right)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f^{\prime }(x)+2xf(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $f(0)=\frac{3}{2}$ và ${\int }_0^1(2f(x)-1)xdx=a+\frac{b}{e}$, với $a,b$ là các số hữu tỷ. Khi đó $a+b$ bằng