Người ta ước tính rằng số lượng cá thể của một loài trong tự nhiên $t$ năm sau khi chính sách bảo vệ được thiết lập có thể được mô hình hoá bằng hàm số $N(t)=\frac{20(m+1+3t)}{1+0,05t}$, $t\ge 0$ (ở đó $m$ là hằng số). Biết rằng số lượng cá thể của loài đó tại thời điểm khi bắt đầu thiết lập chính sách bảo vệ là 80 con.

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết $N(0)=80$: $N(0)=\frac{20(m+1)}{1}=80\Rightarrow m+1=4\Rightarrow m=3$. Vậy $N(t)=\frac{20(4+3t)}{1+0,05t}$.
b) $N^{\prime }(t)=\frac{20\left[3(1+0,05t)-0,05(4+3t)\right]}{(1+0,05t{)}^2}=\frac{20\cdot 2,8}{(1+0,05t{)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$, nên số cá thể luôn tăng (tiệm cận lên 1200), không giảm dần → sai.
c) ${\lim }_{t\to +\infty }N(t)=\frac{20\cdot 3}{0,05}=1200$ và $N$ tăng nên $N(t)<1200$ với mọi $t$, không bao giờ vượt quá 1200 con → đúng.
d) $N(t)>500\iff 20(4+3t)>500(1+0,05t)\iff 80+60t>500+25t\iff 35t>420\iff t>12$. Tại $t=10$: $N(10)=\frac{20\cdot 34}{1,5}\approx 453,3<500$ con, tức phải chờ hơn 12 năm mới vượt 500 con, nên khẳng định rằng chỉ cần (đủ) 10 năm để vượt mức 500 con là sai. Đáp án: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai (khớp ĐSĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$N(0)=20(m+1)=80\Rightarrow m=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$N^{\prime }(t)=\frac{56}{(1+0,05t{)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$ nên số cá thể luôn tăng dần, không giảm.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{t\to +\infty }N(t)=1200$ và hàm số tăng nên $N(t)<1200$ với mọi $t\ge 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$N(t)>500\iff t>12$; tại $t=10$ thì $N(10)\approx 453,3<500$ con, nên 10 năm chưa đủ để vượt 500 con.