Hằng ngày, Mặt Trời chiếu sáng làm bóng của một cột ăng-ten truyền hình cao 50 m in trên mặt đất. Độ dài bóng của cột ăng-ten này được mô hình hóa bởi công thức $$S(t)=50\left|\cot \frac{\pi }{12}t\right|,$$ trong đó $S$ được tính bằng mét (m), $t$ là số giờ tính từ 6 giờ sáng $(0<t<12)$.

Độ dài bóng được mô hình hóa bởi $S(t)=50\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|$ với $0<t<12$.
a) Đúng. Khoảng thời gian từ 12 giờ trưa đến 6 giờ tối ứng với $6<t<12$. Khi đó $\frac{\pi }{12}t\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$, giá trị $\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ mang dấu âm và giảm dần từ 0 về $-\infty$, do đó độ lớn $\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|$ tăng dần từ 0 lên $+\infty$, nghĩa là độ dài bóng tăng dần.
b) Đúng. Ta có $S(t)=\frac{50\sqrt{3}}{3}\iff \left|\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Vì góc $\frac{\pi }{12}t\in (0;\pi )$ nên phương trình có hai nghiệm: $\frac{\pi }{12}t=\frac{\pi }{3}\Rightarrow t=4$ (lúc 10 giờ sáng) và $\frac{\pi }{12}t=\frac{2\pi }{3}\Rightarrow t=8$ (lúc 14 giờ chiều).
c) Đúng. Lúc 9 giờ sáng ứng với $t=3$. Ta có $S(3)=50\left|\cot \left(\frac{3\pi }{12}\right)\right|=50\cot \frac{\pi }{4}=50$ m.
d) Đúng. Với mọi $t\in (0;12)$, ta có:
$$S(12-t)=50\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}(12-t)\right)\right|=50\left|\cot \left(\pi -\frac{\pi }{12}t\right)\right|=50\left|-\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|=S(t).$$
a) Đúng. Khoảng thời gian từ 12 giờ trưa đến 6 giờ tối ứng với $6<t<12$. Khi đó $\frac{\pi }{12}t\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$, giá trị $\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ mang dấu âm và giảm dần từ 0 về $-\infty$, do đó độ lớn $\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|$ tăng dần từ 0 lên $+\infty$, nghĩa là độ dài bóng tăng dần.
b) Đúng. Ta có $S(t)=\frac{50\sqrt{3}}{3}\iff \left|\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Vì góc $\frac{\pi }{12}t\in (0;\pi )$ nên phương trình có hai nghiệm: $\frac{\pi }{12}t=\frac{\pi }{3}\Rightarrow t=4$ (lúc 10 giờ sáng) và $\frac{\pi }{12}t=\frac{2\pi }{3}\Rightarrow t=8$ (lúc 14 giờ chiều).
c) Đúng. Lúc 9 giờ sáng ứng với $t=3$. Ta có $S(3)=50\left|\cot \left(\frac{3\pi }{12}\right)\right|=50\cot \frac{\pi }{4}=50$ m.
d) Đúng. Với mọi $t\in (0;12)$, ta có:
$$S(12-t)=50\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}(12-t)\right)\right|=50\left|\cot \left(\pi -\frac{\pi }{12}t\right)\right|=50\left|-\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|=S(t).$$