Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Biết $AB\parallel CD$ và $AB=3CD$. Gọi $N$ là trung điểm cạnh $SB$ và $P$ là giao điểm của đường thẳng $DN$ với mặt phẳng $(SAC)$. Tính tỉ số $\frac{PO}{PS}$ (viết kết quả ở dạng số thập phân).

Trong hình thang $ABCD$ có $AB\parallel CD$ và $AB=3CD$. Do hai tam giác $OAB$ và $OCD$ đồng dạng nên $\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}=3\Rightarrow OB=3OD$.
Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.
Trong mặt phẳng $(SBD)$, đường thẳng $DN$ cắt $SO$ tại điểm $P$, nên $P$ chính là giao điểm của $DN$ với mặt phẳng $(SAC)$.
Từ $N$ kẻ đường thẳng song song với $SO$, cắt đoạn $BD$ tại $H$.
Vì $N$ là trung điểm của $SB$ và $NH\parallel SO$ nên $NH$ là đường trung bình của tam giác $SOB$, suy ra $H$ là trung điểm của $OB$ và $NH=\frac{1}{2}SO$.
Coi độ dài đoạn $OD$ là 1 đơn vị thì $OB=3$ đơn vị.
Khi đó $OH=\frac{OB}{2}=1.5$ đơn vị, suy ra $DH=DO+OH=1+1.5=2.5$ đơn vị.
Trong tam giác $DNH$, do $PO\parallel NH$, áp dụng định lý Ta-lét ta có:
$$\frac{PO}{NH}=\frac{DO}{DH}=\frac{1}{2.5}=\frac{2}{5}.$$
Suy ra $PO=\frac{2}{5}NH=\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}SO=\frac{1}{5}SO$.
Độ dài đoạn $PS$ là $PS=SO-PO=\frac{4}{5}SO$.
Vậy tỉ số cần tìm là $\frac{PO}{PS}=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{1}{4}=0,25$.