Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Trên đoạn thẳng $AC$ và $D{C}^{\prime }$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $MN$ song song với $B{D}^{\prime }$. Biết $B{D}^{\prime }=6cm$, tính độ dài đoạn thẳng $MN$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$. Mặt phẳng $(GAB)$ cắt đường thẳng $SC$ tại $I$. Tính tỉ số $\frac{IS}{IC}$.

Hình ảnh dưới đây là kệ sách gỗ có 4 mặt kệ với thanh gỗ đứng và thanh gỗ xiên. Giá đỡ các mặt kệ xuất hiện tại các vị trí $A,B,C,D$ và $E,F,G,H$. Biết $EF=35$ cm và $\frac{AB}{AD}=\frac{2}{5}$, các mặt kệ song song với mặt đất và không cách đều nhau. Tính độ dài đoạn $HE$.

Trong mặt phẳng $(P)$, cho hình bình hành $ABCD$. Vẽ các tia $Bx,Cy,Dz$ song song với nhau, nằm cùng phía với mặt phẳng $(ABCD)$, đồng thời không nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$. Một mặt phẳng đi qua $A$, cắt $Bx,Cy,Dz$ tương ứng tại $B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ sao cho $B{B}^{\prime }=2$, $D{D}^{\prime }=4$. Tính $C{C}^{\prime }$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm $AO$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ và song song với $BD$; $SA$ và mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $SC$ tại $N$. Giả sử SN=kNC thì k bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hình chóp $SABC$, $M$ là một điểm thuộc miền trong của tam giác $\Delta ABC$. Các đường thẳng qua $M$ và song song với $SA$, $SB$, $SC$, cắt mặt phẳng $(SBC)$, $(SAC)$, $(SAB)$ lần lượt tại $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: $\frac{M{A}^{\prime }}{SA}\cdot \frac{M{B}^{\prime }}{SB}\cdot \frac{M{C}^{\prime }}{SC}$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Trên các cạnh bên $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },D{D}^{\prime }$ của hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P,Q$. Biết $AM=5,BN=10,CP=22$ và 4 điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng. Độ dài $DQ$ bằng bao nhiêu?