Gọi $X$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=-45m-2$ cùng với đồ thị $(C)$ của hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-2m{x}^2+x+1$ tạo thành hai miền kín có diện tích lần lượt là $S_1,S_2$ thỏa mãn $S_1=S_2$ (xem hình vẽ). Số phần tử của tập $X$ là

Yêu cầu bài toán tương đương với: đồ thị $(C)$ có hai điểm cực trị và tâm đối xứng $I$ của $(C)$ thuộc đường thẳng $d$.
Ta có $y^{\prime }=x^2-4mx+1$. Hàm số có hai điểm cực trị $⟺{\Delta }^{\prime }=4m^2-1>0⟺|m|>\frac{1}{2}$.
Tọa độ tâm đối xứng $I$ là nghiệm của $y^{\prime \prime }=0⟺2x-4m=0⟺x=2m$.
Tung độ tâm đối xứng: $y_I=-\frac{16}{3}{m}^3+2m+1$.
$I\in d⟺-\frac{16}{3}{m}^3+2m+1=-45m-2⟺16m^3-141m-9=0⟺(m-3)(16m^2+48m+3)=0$.
Nghiệm: $m=3$ hoặc $m=\frac{-6\pm \sqrt{33}}{4}$.
Kiểm tra điều kiện $|m|>\frac{1}{2}$:
- $m=3$ (thỏa mãn).
- $m=\frac{-6-\sqrt{33}}{4}\approx -2,936$ (thỏa mãn).
- $m=\frac{-6+\sqrt{33}}{4}\approx -0,064$ (loại).
Vậy tập $X$ có đúng 2 phần tử.