Giả sử rằng khi $t$ năm tuổi, một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ $R^{\prime }(t)=588-3t^2$ (triệu đồng/năm), thời điểm $t=0$ tính từ lúc máy A bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi phí biên cho vận hành và bảo trì là $C^{\prime }(t)=48+12t^2$ (triệu đồng/năm), ở đây $C(t)$ là chi phí vận hành và bảo trì của máy A khi nó được $t$ năm tuổi.

Câu 5. Xét hình vuông $ABCD$ cạnh $8\text{ cm}$, tâm $O$. Gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, với tia $Ox$ cùng hướng $\overrightarrow{AB}$, tia $Oy$ cùng hướng $\overrightarrow{DA}$. Vẽ parabol $(P)$ đi qua $O,E$ và tiếp xúc với cạnh $CD$. Điểm $T$ xuất phát từ $B$, chuyển động trên cạnh $BC$ theo chiều từ $B$ đến $C$ với tốc độ $v(t)=0,2t+0,6\text{ (cm/s)}$.
Đường thẳng $ET$ cắt $(P)$ tại điểm thứ hai $F$. Gọi $S(t)$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đoạn $EF$ và cung $EF$ của parabol $(P)$. Hỏi tại thời điểm $t=3$ giây, diện tích $S(t)$ đang giảm với tốc độ bao nhiêu ${\text{cm}}^2/\text{s}$? Làm tròn kết quả đến hàng phần chục.

Câu 14. Trong $6$ giờ cao điểm ($0\le t\le 6$), công suất phát điện của tổ máy I là $P_1(t)=-t^2+4t+12$ đơn vị là MW. Tổ máy II chạy thử nghiệm với công suất $P_2(t)=a{t}^2+bt+c$ đơn vị là MW. Biết đồ thị $P_2(t)$ là một đường parabol có đỉnh nằm trên trục hoành tại thời điểm $t=6$ (tức là vừa tắt máy vừa đạt cực tiểu tại $t=6$) và tại thời điểm bắt đầu $t=0$ hai máy có cùng công suất. Tính tỉ số tổng sản lượng điện của tổ máy I so với tổ máy II.

Sau một trận mưa lớn, lượng nước mưa đổ vào bể chứa của một trạm bơm được mô phỏng bởi hàm số lưu lượng $v(t)=100+20t-t^2{\text{ (m}}^3\text{/phuˊt)}$, với $t$ là thời gian tính bằng phút ($0\le t\le 25$). Tại thời điểm $t=0$, bể chứa đang có sẵn $650{\text{ m}}^3$ nước.

Câu 3. Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón. Gọi $P(x)$ là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán $x$ (tấn) sản phẩm trong một tuần. Khi đó đạo hàm $P^{\prime }(x)$ gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức $P^{\prime }(x)=17-0,025x$ với $0\le x\le 1000$. Biết nhà máy lỗ 24 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Ông An bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h(t)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ giây. Cho $h^{\prime }(t)=2at+5b$ $({\text{m}}^3/\text{s})$ và ban đầu bể không có nước. Sau $4$ giây thì thể tích nước trong bể là $2080{\text{m}}^3$. Sau $8$ giây thì thể tích nước trong bể là $4320{\text{m}}^3$. Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được $10$ giây là bao nhiêu?

Trong một nhà máy, tốc độ tiêu thụ điện năng của một dây chuyền sản xuất sau khi khởi động có xu hướng giảm dần theo thời gian và tiến về mức ổn định. Giả sử sau khi bắt đầu vận hành được $t$ giờ, tốc độ tiêu thụ điện năng của dây chuyền sản xuất này được mô hình bởi hàm số $E^{\prime }(t)=A+e^{-0,4t}$ (đơn vị: $\text{kWh}$/giờ) ($0\le t\le 10$), trong đó $E(t)$ ($\text{kWh}$) là lượng điện năng tiêu thụ tính từ lúc bắt đầu vận hành, $A$ là hằng số dương. Biết rằng trong $10$ giờ đầu tiên, dây chuyền đã tiêu thụ tổng cộng $150\text{ kWh}$.