Giả sử $f(x)$ là hàm liên tục trên $[0;+\infty )$ và diện tích phần hình phẳng được kẻ sọc ở hình bên bằng $3$. Tích phân ${\int }_0^{1}f(2x)dx$ bằng

Cho biết ${\int }_{-1}^1(1+f(x))\mathrm{d}x=3$ và ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=3$. Biểu thức ${\int }_{-1}^{3}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và $F(-2)=-12$, $F(4)=-6$. Tích phân ${\int }_{-2}^{4}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho $y=f(x)$, $y=g(x)$ lần lượt là các hàm đa thức bậc ba và bậc nhất có đồ thị như hình vẽ.
Biết tung độ của $A$ và $C$ lần lượt là $\frac{7}{4}$ và $\frac{4}{3}$. Hình phẳng được đánh dấu có diện tích bằng $\frac{40}{3}$. Giá trị của tích phân ${\int }_1^2[f(x)-x]\mathrm{d}x$ bằng.

[IMAGE:img_1]

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $3f(3x)-2xf(x^2)=24x-4x^3-9$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $f(1)=-1$. Giá trị ${\int }_1^{3}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng

Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng parabol đỉnh $S$ như hình vẽ, biết $OS=AB=4\text{ m}$, $O$ là trung điểm của $AB$. Parabol trên được chia thành ba phần để sơn ba màu khác nhau với mức chi phí: phần trên là phần kẻ sọc $160.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, phần giữa là hình quạt tâm $O$, bán kính $2\text{ m}$ được tô đậm $200.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, phần còn lại $250.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Tổng chi phí để sơn cả $3$ phần gần nhất với số nào sau đây?

[IMAGE:img_1]

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(0;+\infty )$ và thỏa mãn $(x^2+x)(f^{\prime }(x)-1)=x+1-f(x)$ với mọi $x\in (0;+\infty )$ và $f(1)=4$. Biểu thức $I={\int }_1^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)f(x)\mathrm{d}x$ có giá trị bằng