Đoàn Thanh niên trường THPT Nguyễn Huệ cần trang trí một bảng tin ngoại khóa hình chữ nhật được chia thành 4 ô (như hình vẽ). Ban chấp hành Đoàn trường đã chuẩn bị sẵn 5 màu sơn khác nhau để giao cho các chi đoàn thực hiện. Hỏi các bạn học sinh có bao nhiêu cách sơn bảng tin, biết rằng mỗi ô được sơn đúng một màu và hai ô liền kề nhau phải khác màu?

Đoàn Thanh niên trường THPT Nguyễn Huệ cần trang trí một bảng tin ngoại khóa hình chữ nhật được chia thành 4 ô (như hình vẽ). Ban chấp hành Đoàn trường đã chuẩn bị sẵn 6 màu sơn khác nhau để giao cho các chi đoàn thực hiện. Hỏi các bạn học sinh có bao nhiêu cách sơn bảng tin, biết rằng mỗi ô được sơn đúng một màu và hai ô liền kề phải khác màu?

a) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số mà số đó chia hết cho 5.

b) Một túi chứa 4 viên bi đỏ, 6 viên bi xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để 3 viên bi được chọn không có đủ cả ba màu.

a. (3,0 điểm) Cho $A$ là bảng các ô vuông có kích thước $2026\times 2026$. Điền vào mỗi ô của bảng $A$ một số thuộc tập hợp $M=\{-1;0;1\}$. Có bao nhiêu cách điền sao cho tổng của bốn số trên mỗi bảng vuông con $2\times 2$ bất kì đều bằng 0?
b. (4,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tập hợp $S$ gồm 62 điểm phân biệt có tọa độ nguyên sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Với mỗi cặp điểm phân biệt $A(x_A,y_A)$ và $B(x_B,y_B)$ thuộc $S$, ta xét đại lượng:
$$T(A,B)=(x_A-x_B{)}^2+70(y_A-y_B{)}^2.$$
Hai điểm $A,B$ được gọi là "liên kết" với nhau nếu $T(A,B)$ chia hết cho 3.
Chứng minh tồn tại một tam giác có ba đỉnh thuộc $S$, đôi một "liên kết" với nhau mà diện tích là một số nguyên chia hết cho 9.

Cho tập $X=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ và lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$. Có bao nhiêu cách đặt các chữ số trong tập $X$ vào các đỉnh và tâm của lục giác sao cho mỗi vị trí chứa đúng một số( hai vị trí khác nhau đặt hai số khác nhau) đồng thời số ở tâm là một số lẻ và tổng 3 số trên 3 điểm thẳng hàng bằng nhau.

a) Cho hình chữ nhật $ABCD$ gồm $8\times 10$ ô vuông cạnh bằng 1. Xét đường đi có độ dài 18 từ $A$ đến $C$ dọc theo cạnh các hình vuông đó và đổi hướng đúng 4 lần. Tính số đường đi khác nhau có thể có. Dưới đây là một ví dụ đường đi thỏa yêu cầu của bài toán.



b) Cho $A$ là tập con của tập $\{1;2;3;\dots ;2026\}$ gồm nhiều hơn 1010 phần tử. Chứng minh rằng $A$ chứa phần tử là lũy thừa của 2 hoặc chứa hai phần tử phân biệt có tổng là lũy thừa của 2.

Cho lưới hình chữ nhật $ABCD$ gồm $m\times n$ ô vuông cạnh bằng 1 (với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Xét đường đi có độ dài $(m+n)$ từ $A$ đến $C$ dọc theo các đường lưới và đổi hướng đúng $k$ lần $(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$.

a) Tính số đường đi ứng với $m=n=4$ và $k=2$ (hình vẽ dưới đây mô tả một trong số các đường đi).



b) Tính số đường đi ứng với $m=8,n=10$ và $k=4$ (hình vẽ dưới đây mô tả một trong số các đường đi).