Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-x^2+x+1$ song song với đường thẳng $y=6x+4$?

Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-2x+1$.
Tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=6x+4$ nên có hệ số góc $k=6$.
Ta có phương trình hoành độ tiếp điểm:
$3x^2-2x+1=6⟺3x^2-2x-5=0⟺(x+1)(3x-5)=0⟺[\begin{array}{rl}& x=-1\\ & x=\frac{5}{3}\end{array}$
- Với $x=-1⟹y=(-1{)}^3-(-1{)}^2+(-1)+1=-2$.
Phương trình tiếp tuyến: $y=6(x+1)-2=6x+4$ (trùng với đường thẳng đã cho, loại).
- Với $x=\frac{5}{3}⟹y={\left(\frac{5}{3}\right)}^3-{\left(\frac{5}{3}\right)}^2+\frac{5}{3}+1=\frac{122}{27}$.
Phương trình tiếp tuyến: $y=6\left(x-\frac{5}{3}\right)+\frac{122}{27}=6x-\frac{148}{27}$ (thỏa mãn song song).
Vậy chỉ có duy nhất 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu.