Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{3}{4}{x}^4-(3m-1)x^2-\frac{1}{4x^4}$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$

Tập xác định trên $(0;+\infty )$. Đạo hàm:
$y^{\prime }=3x^3-2(3m-1)x+\frac{1}{x^5}$.
Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )⟺y^{\prime }\ge 0\forall x>0$
$⟺3x^3+\frac{1}{x^5}\ge 2(3m-1)x⟺3x^2+\frac{1}{x^6}\ge 2(3m-1)$ (do $x>0$).
Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số dương $x^2,x^2,x^2,\frac{1}{x^6}$:
$3x^2+\frac{1}{x^6}=x^2+x^2+x^2+\frac{1}{x^6}\ge 4\sqrt[4]{x^2\cdot x^2\cdot x^2\cdot \frac{1}{x^6}}=4$.
Đẳng thức xảy ra khi $x^2=\frac{1}{x^6}⟺x=1>0$.
Do đó ${\min }_{(0;+\infty )}\left(3x^2+\frac{1}{x^6}\right)=4$.
Bất đẳng thức đúng với mọi $x>0⟺2(3m-1)\le 4⟺3m-1\le 2⟺3m\le 3⟺m\le 1$.
Vì $m$ nguyên dương nên $m=1$. Vậy có đúng 1 giá trị của $m$. Chọn A.