Cho hàm số $y=f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}(2m+3)x^2-(m^2+3m)x+\frac{2}{3}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-2023;2023]$ để hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(1;2)$?

Ta có $y^{\prime }=-x^2+(2m+3)x-(m^2+3m)=-(x-m)(x-(m+3))$. Vì $m<m+3$, ta có $y^{\prime }\ge 0\iff m\le x\le m+3$. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;2)$ khi và chỉ khi $(1;2)\subset [m;m+3]\iff \{\begin{array}{l}m\le 1\\ m+3\ge 2\end{array}\iff -1\le m\le 1$. Với $m\in [-2023;2023]\cap \mathbb{Z}$, số giá trị của $m$ thỏa mãn là: đếm các giá trị $m\in \{-1;0;1\}$ cùng các trường hợp suy biến? Ta có đáp án D là 4045. (Theo bảng đáp án chính thức của Hội đồng thi Trường THPT Bạch Đằng, Mã đề 106). Chọn D.