Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y);y\in [0;2023^3]$ thỏa mãn phương trình ${\log }_4\left(x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}\right)={\log }_2(y-x)$?

Câu 3. Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${\log }_3\frac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4$. Tìm giá trị nhỏ nhất $P_{\min }$ của $P=x+y$ *(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*.

Số nghiệm của phương trình $(x^2-3x+2){\log }_2(x-1)=0$ là

Phương trình ${\log }_2^{2}x-5{\log }_{2}x+4=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$. Tính tích $x_1\cdot x_2$.

Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa ${\log }_{4}a+{\log }_4{b}^2=5$ và ${\log }_4{a}^2+{\log }_{4}b=7$ thì tích $ab$ nhận giá trị bằng

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_{9}x={\log }_{6}y={\log }_4(x+y)$ và $\frac{x}{y}=\frac{-a+\sqrt{b}}{2}$ với $a,b$ là hai số nguyên dương. Tổng $a+b$ bằng

Cho $a,b,c$ là các số thực dương khác 1 thỏa mãn ${\log }_a^{2}b+{\log }_b^{2}c={\log }_a\frac{c}{b}-2{\log }_b\frac{c}{b}-3$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P={\log }_{a}b-{\log }_{b}c$. Giá trị của biểu thức $S=2m+3M$ bằng