Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào của lớp C. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?

Tổng số học sinh là $2+3+4=9$ học sinh.
Yêu cầu giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp C nào, tức là giữa hai học sinh lớp A chỉ có thể có $k$ học sinh lớp B ($k\in \{0,1,2,3\}$).
- Chọn $k$ học sinh lớp B để xếp vào giữa hai học sinh lớp A và hoán vị chúng: có $A_3^k$ cách.
- Hoán vị hai học sinh lớp A: có $2!=2$ cách.
- Coi cụm gồm hai học sinh lớp A và $k$ học sinh lớp B này là một phần tử $X$. Cùng với $3-k$ học sinh lớp B còn lại và 4 học sinh lớp C, tổng cộng có $1+(3-k)+4=8-k$ phần tử để hoán vị: có $(8-k)!$ cách.
Tổng số cách xếp là:
${\sum }_{k=0}^{3}2\cdot A_3^k\cdot (8-k)!$:
- $k=0$: $2\cdot 1\cdot 8!=80640$.
- $k=1$: $2\cdot 3\cdot 7!=30240$.
- $k=2$: $2\cdot 6\cdot 6!=8640$.
- $k=3$: $2\cdot 6\cdot 5!=1440$.
Tổng cộng: $80640+30240+8640+1440=120960$ cách. Chọn B.