Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đạo hàm là hàm số $y=f^{\prime }(x)$ với đồ thị như hình vẽ bên.


Biết rằng đồ thị hàm số $y=f(x)$ tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Khi đó đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là bao nhiêu?

Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$. Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ là một parabol có đỉnh tại $(-1;-3)$ và đi qua các điểm $(-2;0)$ và $(0;0)$.
Từ đó suy ra $f^{\prime }(x)=3(x+1{)}^2-3=3x^2+6x$.
Do đó $f(x)=x^3+3x^2+d$.
Các điểm cực trị của $f(x)$ là nghiệm của $f^{\prime }(x)=0⟺x=0$ hoặc $x=-2$.
Điểm cực trị có hoành độ âm là $x=-2$.
Đồ thị hàm số $y=f(x)$ tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm $⟹f(-2)=0$:
$(-2{)}^3+3(-2{)}^2+d=0⟺-8+12+d=0⟺4+d=0⟺d=-4$.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;d)=(0;-4)$, tức tung độ bằng $-4$. Chọn C.