Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_2\left(\frac{x+4y}{x+y}\right)=2x-4y+1$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{2x^4-2x^2{y}^2+6x^2}{(x+y{)}^3}$ bằng

Biến đổi giả thiết:
${\log }_2(x+4y)-{\log }_2(x+y)=2(x+y)-(x+4y)+1$
$⟺{\log }_2(x+4y)+(x+4y)={\log }_2(2x+2y)+(2x+2y)$.
Xét hàm số $f(t)={\log }_{2}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra:
$x+4y=2x+2y⟺x=2y$.
Thay $x=2y$ vào $P$:
$P=\frac{2(2y{)}^4-2(2y{)}^2{y}^2+6(2y{)}^2}{(2y+y{)}^3}=\frac{32y^4-8y^4+24y^2}{27y^3}=\frac{24y^4+24y^2}{27y^3}=\frac{8}{9}\left(y+\frac{1}{y}\right)$.
Áp dụng BĐT AM-GM cho hai số dương $y$ và $\frac{1}{y}$:
$y+\frac{1}{y}\ge 2\sqrt{y\cdot \frac{1}{y}}=2$.
Suy ra $P\ge \frac{8}{9}\cdot 2=\frac{16}{9}$. Đẳng thức xảy ra khi $y=1⟹x=2$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\frac{16}{9}$. Chọn A.