Cho $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $2z^2+1=0$ (trong đó số phức $z_1$ có phần ảo âm). Tính $z_1+3z_2$.

Cho các số thực $b,c$ trái dấu sao cho phương trình $z^2+bz+c=0$ có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1+2-5i|=\sqrt{17}$ và $(z_1-2)(z_2+4i)$ là số thuần ảo. Giá trị của $b+c$ bằng

Trên tập số phức, cho phương trình: z  10 z  m  1  0  m    . Tìm tất cả các giá trị nguyên
2

của tham số m   10;90 để phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn
z1  z2 là một số nguyên dương.

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^2+2az+b^2+2=0$ ($a,b$ là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực $(a;b)$ sao cho phương trình đó có hai nghiệm $z_1,z_2$ thỏa mãn $z_1+2i{z}_2=3+3i$?

Biết rằng phương trình $z^2+4z+7=0$ có hai nghiệm phức là $z_1$ và $z_2$. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A(2;1)$ và $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của $z_1$ và $z_2$. Diện tích tam giác $AMN$ bằng

Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^2-2(m-45)z+2016-80m=0$ ($m$ là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ sao cho $|z_1|=|z_2|$?

Trên tập hợp số phức, cho phương trình $z^2+bz+c=0$ với $b,c\in \mathbb{R}$. Biết rằng hai nghiệm của phương trình có dạng $w+3$ và $2w-15i+9$ với $w$ là một số phức. Tính $S=b^2-2c$