Cho hình chóp đều $S.ABCD$ với $O$ là tâm của đáy. Khoảng cách từ $O$ đến mặt bên bằng 1 và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $45^{\circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$. Khi đó $OM\perp CD$ và $SM\perp CD$, góc giữa mặt bên $(SCD)$ và đáy là $\widehat{SMO}=45^{\circ }$.
Tam giác $SOM$ vuông tại $O$ và có $\widehat{SMO}=45^{\circ }$ nên là tam giác vuông cân tại $O$, do đó $SO=OM$.
Kẻ $OH\perp SM$ tại $H$, khi đó $OH\perp (SCD)$ nên $OH=d(O,(SCD))=1$.
Trong tam giác vuông cân $SOM$ có đường cao $OH=1$, ta có $OM=SO=OH\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $CD=2OM=2\sqrt{2}$, diện tích đáy là $S_{ABCD}=(2\sqrt{2}{)}^2=8$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 8\cdot \sqrt{2}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$. Chọn D.