Cho $x$ và $y$ là các số thực. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=(y-10^x{)}^{2022}+(e^y-x\ln 10{)}^{2022}$ bằng

Cho các số thực $a,b,c$ lớn hơn 1 thỏa mãn ${\log }_{2}a\ge (1-{\log }_{2}b\cdot {\log }_{2}c)\cdot {\log }_{bc}2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={\log }_2^{2}a+28{\log }_2^{2}b+28{\log }_2^{2}c$.

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $5^{x+4y}+\frac{3^{-x-4y}}{3}+xy+x+1=\frac{5^{xy}}{5}+3^{-xy}+3-x-4y+y(x-4)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y$.

Bài 3 (7,0 điểm). Ký hiệu $\{a\}$ là phần lẻ của số thực $a$.
a) Tìm số thực $c>0$ nhỏ nhất sao cho $\{x\}+\{y\}<c+xy$ với mọi số thực $x,y>0$.
b) Xét các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng
$$\{x\}+\{y\}+\{z\}<\frac{5}{2}.$$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{7}{a^2+b^2+c^2}+\frac{121}{14(ab+bc+ca)}$

Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện $\left(x^2+y^2+5\right)+{\log }_2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)={\left(\frac{xy}{2}-2\right)}^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+9y$.

Cho $x,y,z$ là các số thực thay đổi, thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+x+y+z=\frac{4}{3}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}$.