Cho tứ diện $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông cân đỉnh $B$, $AB=a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và $SA=a$.

a) Chứng minh $(SAB)\perp (SBC)$.

b) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến $(SBC)$.

c) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Tính khoảng cách từ điểm $I$ đến $(SBC)$.

d) Gọi $J$ là trung điểm của $AC$. Tính khoảng cách từ điểm $J$ đến $(SBC)$.

e) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Tính khoảng cách từ điểm $G$ đến $(SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$ (tam giác $ABC$ vuông cân đỉnh $B$ nên $AB=BC=a$), $S(0;0;a)$ vì $SA\perp (ABC)$, $SA=a$.

**a)** Ta có $BC\perp AB$ (tam giác vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$). Suy ra $BC\perp (SAB)$. Mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SAB)\perp (SBC)$. (Chứng minh xong)

**b)** Vì $(SAB)\perp (SBC)$, giao tuyến $SB$, điểm $A\in (SAB)$ nên $d(A,(SBC))=d(A,SB)$. Trong tam giác $SAB$ vuông tại $A$ với $SA=AB=a$, $SB=a\sqrt{2}$:
$$d(A,SB)=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{a^2}{a\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$
Kiểm tra bằng tọa độ: mặt phẳng $(SBC)$ có phương trình $x+z=a$, khoảng cách từ $A$ là $\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. ✓

**c)** $I$ là trung điểm $AB$, $I\in (SAB)$ nên $d(I,(SBC))=d(I,SB)$. Trong tam giác vuông $SAB$, khoảng cách từ trung điểm cạnh $AB$ đến cạnh huyền $SB$ bằng nửa khoảng cách từ $A$ đến $SB$ (tuyến tính theo vị trí trên $AB$, tại $B$ bằng $0$):
$$d(I,(SBC))=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}.$$
(Kiểm tra tọa độ: $I\left(\frac{a}{2};0;0\right)$, $\frac{a/2}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.) ✓

**d)** $J$ là trung điểm $AC$: $J\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)$. Vì $C\in (SBC)$ nên
$$d(J,(SBC))=\frac{1}{2}d(A,(SBC))=\frac{a\sqrt{2}}{4}.$$
(Kiểm tra tọa độ: $\frac{a-x_J}{\sqrt{2}}=\frac{a/2}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.) ✓

**e)** $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$: $G\left(\frac{2a}{3};\frac{a}{3};0\right)$. Vì hàm khoảng cách tới mặt phẳng $x+z=a$ là hàm affine theo tọa độ:
$$d(G,(SBC))=\frac{d(A)+d(B)+d(C)}{3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{6}.$$
(Kiểm tra tọa độ: $\frac{a-2a/3}{\sqrt{2}}=\frac{a}{3\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{6}$.) ✓

**Kết quả:** b) $\frac{a\sqrt{2}}{2}$; c) $\frac{a\sqrt{2}}{4}$; d) $\frac{a\sqrt{2}}{4}$; e) $\frac{a\sqrt{2}}{6}$.