Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA\perp (ABCD)$, $SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

a) Xác định và tính góc phẳng nhị diện $[B,SA,D]$.

b) Xác định và tính góc phẳng nhị diện $[S,BD,A]$.

c) Xác định và tính góc phẳng nhị diện $[S,BD,C]$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12: Hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Gọi $O=AC\cap BD$.

a) Nhị diện $[B,SA,D]$ có cạnh $SA$. Ta có $AB\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) và $AD\perp SA$. Vậy góc phẳng nhị diện $[B,SA,D]$ là $\widehat{BAD}=90^{\circ }$.

b) Nhị diện $[S,BD,A]$ có cạnh $BD$. Tam giác $SBD$ cân tại $S$ (vì $SB=SD$), nên $SO\perp BD$; tam giác $ABD$ cân tại $A$ nên $AO\perp BD$. Vậy góc phẳng nhị diện $[S,BD,A]$ là $\widehat{SOA}$.
Ta có $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $\tan \widehat{SOA}=\frac{SA}{AO}=1\Rightarrow \widehat{SOA}=45^{\circ }$.

c) Nhị diện $[S,BD,C]$ có cạnh $BD$: $SO\perp BD$, $CO\perp BD$ nên góc phẳng là $\widehat{SOC}$. Vì $A$ và $C$ nằm khác phía đối với $BD$ nên $\widehat{SOC}=180^{\circ }-\widehat{SOA}=135^{\circ }$.
Kiểm tra bằng định lí cosin: $S{O}^2=S{A}^2+A{O}^2=a^2$; $S{C}^2=S{A}^2+A{C}^2=\frac{a^2}{2}+2a^2=\frac{5a^2}{2}$; $OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
$\cos \widehat{SOC}=\frac{S{O}^2+O{C}^2-S{C}^2}{2\cdot SO\cdot OC}=\frac{a^2+\frac{a^2}{2}-\frac{5a^2}{2}}{2\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{-a^2}{a^2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{SOC}=135^{\circ }$.

Kết luận: a) $90^{\circ }$; b) $45^{\circ }$; c) $135^{\circ }$.