Một chiếc hộp chứa 20 chiếc thẻ được đánh số liên tiếp từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ trong hộp.

Trong túi có 4 đôi giày khác loại. Bạn Mai lấy ra ngẫu nhiên 2 chiếc giày. Xác suất để lấy ra được một đôi giày hoàn chỉnh là $\frac{a}{b}$ (phân số tối giản). Tính $a+b$.

Gieo con xúc xắc 2 lần liên tiếp. Tính xác suất tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là số chia hết cho 6.

Đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 12 của Trường THPT Gia Bình số 1 năm học 2025–2026 do thầy Nguyễn Văn Thuy phụ trách có 11 học sinh tham gia học bồi dưỡng, trong đó có hai học sinh lớp 11A1. Do đội tuyển các học sinh đều xuất sắc, nếu thầy Thuy chọn ngẫu nhiên một số học sinh làm đội tuyển chính thức tham dự kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, hỏi thầy cần chọn ít nhất bao nhiêu học sinh để xác suất "có ít nhất một học sinh lớp 11A1 được chính thức thi cấp tỉnh" phải lớn hơn $\frac{52}{55}$.

Đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 12 của Trường THPT Gia Bình số 1 năm học 2025–2026 do thầy Nguyễn Văn Thụy phụ trách có 11 học sinh tham gia học bồi dưỡng, trong đó có hai học sinh lớp 11A1. Do đội tuyển các học sinh đều xuất sắc, nếu thầy Thụy chọn ngẫu nhiên một số học sinh làm đội tuyển chính thức tham dự kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, hỏi thầy cần chọn ít nhất bao nhiêu học sinh để xác suất "có ít nhất một học sinh lớp 11A1 được chính thức thi cấp tỉnh" phải lớn hơn $\frac{52}{55}$.

Một nhà khảo cổ phát hiện một chiếc hộp cổ được niêm phong bằng một mật mã gồm 7 chữ số đôi một khác nhau, được chọn ngẫu nhiên từ tập hợp các chữ số $S=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$. Mật mã này không bắt đầu bằng số 0.
a) Tổng số mật mã hợp lệ có thể tạo ra từ tập $S$ là không gian mẫu của bạn. Tính số phần tử của tập $S$.
b) Để mở chiếc hộp, mật mã phải thoả mãn đồng thời hai điều kiện bí ẩn sau:
Tính đối xứng: Ba chữ số đầu tiên phải là ba chữ số lẻ và ba chữ số cuối cùng phải là ba chữ số chẵn.
Tính trung tâm: Chữ số nằm ở vị trí chính giữa phải là một chữ số nhỏ hơn 4.
Hãy tính xác suất để một mật mã được chọn ngẫu nhiên từ tập S thoả mãn hai điều kiện trên (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).