Cho tích phân $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{5}x\mathrm{d}x$. Nếu đặt $t=\sin x$ thì

Cho ${\int }_1^{3}f(x)dx=5$ và ${\int }_1^{3}g(x)dx=2$. Tính $I={\int }_1^3[f(x)-g(x)]dx$.

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^x-2$, $y=0$, $x=0$, $x=1$ là

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0;1]$ có $F(0)=1$, $F(1)=2$. Tích phân ${\int }_0^{1}f(x)\text{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=2$, $f(3)=4$. Tính tích phân $I={\int }_1^3{f}^{\prime }(x)\text{d}x$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=1$, $f(x)>0$ với $\forall x\ge 0$ và $f(x)-f^{\prime }(x)=e^{-2x}{f}^2(x)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, $y=0$, $x=0$, $x=1$ gần bằng với số nào sau nhất?

Một nhóm các kỹ sư muốn xây dựng một cây cầu vòm dàn thép với giá đỡ dưới bằng thép cao cấp có hình dáng là một Parabol nối từ $2$ cột trụ $A$ và $B$ nằm bên dưới cây cầu, biết hai cột trụ cách nhau $400\text{ m}$, khoảng cách từ trụ $A$ đến cây cầu là $50\text{ m}$ và $AB$ song song với mặt đường.

Gắn hệ trục toạ độ $Oxy$ vào cây cầu với đơn vị trục toạ độ là $10\text{ m}$. Giá đỡ dưới bằng thép là đường cong Parabol tạo với $2$ trục toạ độ các hình phẳng có diện tích $S_1,S_2$ như hình vẽ bên, biết rằng $S_2-2S_1=\frac{2200}{21}$. Điểm cao nhất của giá đỡ dưới bằng thép cao cấp cách mặt đường cây cầu bao nhiêu mét? *(Làm tròn đến hàng phần mười)*