Cho tam giác $ABC$ có $AB=a;BC=a\sqrt{7}$ và $\widehat{BAC}=120^{\circ }$. Gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos 120^{\circ }\Rightarrow 7a^2=a^2+A{C}^2+a\cdot AC\Rightarrow A{C}^2+aAC-6a^2=0\Rightarrow AC=2a$ (lấy nghiệm dương).
a) $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a\sqrt{7}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{21}}{3}$ → Đúng.
b) Đây chính là định lí côsin tại góc $A$: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB\cdot AC}$ → Đúng.
c) $AC=2a>a\sqrt{3}\approx 1,73a$ → mệnh đề $AC<a\sqrt{3}$ Sai.
d) $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$ → Đúng. Khớp đáp án nguồn (mã đề 112, câu 2: DDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí côsin cho $AC=2a$; $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{21}}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định lí côsin áp dụng cho góc $A$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AC=2a>a\sqrt{3}$ nên mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2a\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.