Cho tam giác $ABC$ có $AB=a$; $BC=a\sqrt{5}$ và $\widehat{BAC}=135^{\circ }$. Gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos 135^{\circ }$, tức $5a^2=a^2+A{C}^2+\sqrt{2}a\cdot AC$, suy ra $A{C}^2+\sqrt{2}aAC-4a^2=0$. Giải phương trình (lấy nghiệm dương): $AC=\frac{-\sqrt{2}a+\sqrt{2a^2+16a^2}}{2}=\frac{-\sqrt{2}a+3\sqrt{2}a}{2}=a\sqrt{2}$.
a) $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a\sqrt{5}}{2\sin 135^{\circ }}=\frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}$ → Đúng.
b) Công thức đúng phải là $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB\cdot AC}$; mệnh đề đưa ra sai mẫu số và tử số → Sai.
c) $AC=a\sqrt{2}<a\sqrt{3}$ → Đúng.
d) $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin 135^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a^2}{2}\ne a^2$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí sin: $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a\sqrt{5}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB\cdot AC}$, không phải biểu thức đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin cho $AC=a\sqrt{2}<a\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin 135^{\circ }=\frac{a^2}{2}\ne a^2$.