Cho tam giác $ABC$ có $AB=1$, $AC=x(x>0)$ và $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Các điểm $M$, $N$ được xác định bởi $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{NA}$. Khi đó $AM$ và $CN$ vuông góc với nhau khi $x$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$ với $|\vec{a}|=1$, $|\vec{c}|=x$ và $\vec{a}\cdot \vec{c}=1\cdot x\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{x}{2}$.

Từ $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$: $\vec{C}-\vec{M}=-2(\vec{B}-\vec{M})\Rightarrow 3\vec{M}=\vec{C}+2\vec{B}$, suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{c}+2\vec{a}}{3}$.

Từ $\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{NA}$: $\vec{B}-\vec{N}=-2(\vec{A}-\vec{N})\Rightarrow 3\vec{N}=\vec{B}+2\vec{A}$, suy ra $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{a}}{3}$ và $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}=\frac{\vec{a}-3\vec{c}}{3}$.

Điều kiện $\overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{CN}$:
$$(\vec{c}+2\vec{a})\cdot (\vec{a}-3\vec{c})=0\iff \vec{a}\cdot \vec{c}-3x^2+2-6\vec{a}\cdot \vec{c}=0$$
$$\iff \frac{x}{2}-3x^2+2-3x=0\iff 6x^2+5x-4=0\iff x=\frac{-5+\sqrt{121}}{12}=\frac{1}{2}$$
(nghiệm âm loại vì $x>0$).

Vậy $x=\frac{1}{2}$, khớp đáp án D (bảng đáp án mã đề 1009, câu 13: D).