Cho phương trình $(4{\log }_2^{2}x+{\log }_{2}x-5)\sqrt{7^x-m}=0$ ($m$ là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

Điều kiện $x>0$ và $7^x\ge m$. Phương trình tích tương đương với $7^x=m$ hoặc $4{\log }_2^{2}x+{\log }_{2}x-5=0\iff {\log }_{2}x=1$ hoặc ${\log }_{2}x=-\frac{5}{4}\iff x=2$ hoặc $x=2^{-\frac{5}{4}}$.
Để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thì $7^{2^{-5/4}}\le m<7^2=49$. Vì $7^{2^{-5/4}}\approx 7^{0.42}\approx 2.26$ nên các giá trị nguyên dương của $m$ là $m\in \{3,4,5,\dots ,49\}$ (hoặc điều kiện cụ thể loại nghiệm). Có đúng 47 giá trị nguyên dương của $m$. Chọn A.