Cho lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh 2, tâm $O$ và $ABC=120^{\circ }$. Biết rằng góc giữa cạnh bên $A{A}^{\prime }$ và mặt đáy bằng $60^{\circ }$. Đỉnh $A^{\prime }$ cách đều các điểm $A,B,D$. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là hình thoi cạnh 2, góc $ABC=120^{\circ }$ nên góc $A=60^{\circ }$. Diagonal $BD=2\cdot 2\sin 30^{\circ }=2$, tam giác $ABD$ có ba cạnh $AB=AD=BD=2$ nên đều. Vì $A^{\prime }$ cách đều $A,B,D$ nên hình chiếu $H$ của $A^{\prime }$ lên đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$, do đó $AH=\frac{2}{\sqrt{3}}$. Góc giữa $A{A}^{\prime }$ và đáy bằng $60^{\circ }$ nên $\cos 60^{\circ }=\frac{AH}{A{A}^{\prime }}\Rightarrow A{A}^{\prime }=\frac{4}{\sqrt{3}}$, chiều cao $h=A{A}^{\prime }\sin 60^{\circ }=2$. Diện tích đáy $S=2^2\sin 60^{\circ }=2\sqrt{3}$. Thể tích $V=S\cdot h=2\sqrt{3}\cdot 2=4\sqrt{3}\approx 6,93$.