Cho hình phẳng $(H)$ là phần tô đậm trong hình.



Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị cắt nhau: $x^2-2x-1=-x^2+3\iff 2x^2-2x-4=0\iff x^2-x-2=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$. Trên $[-1;2]$ ta có $-x^2+3\ge x^2-2x-1$ (vì $-2x^2+2x+4\ge 0$).

a) Đúng: hình $(H)$ giới hạn bởi $y=x^2-2x-1$, $y=-x^2+3$ và hai đường $x=-1$, $x=2$ (đúng như hình vẽ).

b) Đúng: công thức diện tích giữa hai đồ thị $S={\int }_{-1}^2\left|(-x^2+3)-(x^2-2x-1)\right|dx$.

c) Sai: trên $[-1;2]$, $x^2-x-2\le 0$ nên $S=-2{\int }_{-1}^2(x^2-x-2)dx$; mệnh đề thiếu dấu trừ (tích phân này âm) nên sai.

d) Sai: $S={\int }_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx={\left[-\frac{2x^3}{3}+x^2+4x\right]}_{-1}^2=\frac{20}{3}-\left(-\frac{7}{3}\right)=9$. Khi đó $\ln 9=2\ln 3$ nên $a=2$, $b=3$, suy ra $a^2+b^2=4+9=13\ne 29$; mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hình $(H)$ giới hạn bởi $y=x^2-2x-1$, $y=-x^2+3$ và $x=-1$, $x=2$; hai giao điểm của hai đồ thị chính là $x=-1$ và $x=2$, đúng như hình vẽ.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích giữa hai đồ thị đúng là $S={\int }_{-1}^2\left|(-x^2+3)-(x^2-2x-1)\right|dx$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;2]$, $x^2-x-2\le 0$ nên $S=-2{\int }_{-1}^2(x^2-x-2)dx$; mệnh đề thiếu dấu trừ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx={\left[-\frac{2x^3}{3}+x^2+4x\right]}_{-1}^2=\frac{20}{3}-\left(-\frac{7}{3}\right)=9$. Khi đó $\ln 9=2\ln 3$ nên $a=2$, $b=3$, suy ra $a^2+b^2=13\ne 29$; mệnh đề sai.