Cho hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=2x-x^2$, $y=x$. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng quanh trục $Ox$.

Câu 4. Nghề làm thùng gỗ sồi đựng rượu vang (đặc biệt là chuẩn thùng Barrique của vùng Bordeaux, Pháp) đòi hỏi sự tỉ mỉ và độ chính xác rất cao. Những chiếc thùng này không có dạng hình trụ thẳng đứng mà phình ra ở giữa. Thiết kế này giúp thợ ủ rượu dễ dàng lăn thùng và cặn rượu được gom lại ở phần rốn bụng. Theo tiêu chuẩn sản xuất, đường viền dọc thân thùng cong dạng một cung parabol.



Một xưởng gỗ chuẩn bị xuất xưởng một chiếc thùng có các thông số kỹ thuật được đo đạc cẩn thận. Nhiệm vụ đặt ra là phải tính toán dung tích thực tế của chiếc thùng này để dán nhãn chính xác trước khi đưa vào hầm ủ. Biết rằng thùng rượu vang có chiều cao $90\text{ cm}$. Đường kính lớn nhất ở phần bụng thùng là $62\text{ cm}$, trong khi đường kính ở hai mặt đáy của thùng là bằng nhau và bằng $44\text{ cm}$. Hỏi thể tích của chiếc thùng đó bằng bao nhiêu lít? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=x^2+3,y=0,x=0,x=5$. Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $Ox$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Người ta cần tính thể tích của một vật thể được chế tác như sau. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ (một đơn vị độ dài trên mỗi trục tương ứng với một xăng-ti-mét trong thực tế), gọi $(H)$ là hình phẳng được tô đậm, giới hạn bởi đường elip $\frac{x^2}{256}+\frac{y^2}{48}=1$ và đường tròn tâm $O$ có bán kính $10$ (xem hình minh họa bên dưới). Vật thể có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục hoành.

[IMAGE:img_q19_region]

Lưu ý: Các kích thước trong hình minh họa có thể không đúng tỉ lệ thực tế.
Thể tích của vật thể nói trên bằng bao nhiêu xăng-ti-mét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả phép tính cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi parapol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng d : y = 2 x . Thể tích khối
tr$\int$ n xoay sinh bởi ( H ) khi quay quanh trục Ox bằng

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi các đường $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2$; $y=0$; $x=0$; $x=3$ quanh trục $Ox$ được viết dưới dạng $\frac{a}{b}\pi$ với $a,b$ nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tổng $a+b$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục, không âm trên đoạn $[a;b]$ như hình 3.
[IMAGE_1]

Hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a;x=b$ quay quanh trục $Ox$ tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng