Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, có cạnh $a$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 2. Biết $A{A}^{\prime }=6$ và góc $\widehat{BA{A}^{\prime }}=120^0$, $\widehat{A^{\prime }AD}=60^0$. Độ dài vectơ $\vec{u}=2\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }C}$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(6;0;0)$ và $B(3;4;0)$. Gọi $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$, giá trị của $3a+4b-2026c$ bằng

Một tháp chiếu sáng có dạng hình chóp đều $S.ABCD$, trong đó phần đáy $ABCD$ là một hình vuông làm bằng kim loại có cạnh bằng $2m$, đỉnh tháp $S$ là vị trí gắn bóng đèn chiếu sáng chính, chiều cao của tháp là $4m$. Để điều chỉnh hướng ánh sáng, người kĩ sư đặt hai cảm biến ánh sáng tại vị trí $M$ trên đoạn $BD$ và vị trí $N$ trên đoạn $SC$ sao cho dây truyền tín hiệu nối giữa hai cảm biến tại $M$ và $N$ có độ dài ngắn nhất (độ dài dây truyền tín hiệu bằng đúng độ dài $MN$). Khoảng cách từ $S$ đến trung điểm $MN$ gần nhất với giá trị nào dưới đây

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=1,AD=2,A{A}^{\prime }=3$. Độ dài của vectơ $\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA\perp (ABCD)$ và $AB=3,AD=6,SA=6$. Điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $SBD$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc tọa độ $O$ trùng với $A$, các điểm $B,D,S$ lần lượt nằm trên các tia $Ox,Oy,Oz$ và các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài bằng 1.

Một máy bay đang bay với vecto vận tốc $\vec{a}(630;600;18)$ (đơn vị: $km/h$) thì đến vị trí $M(100;200;8)$ gặp gió. Gió có vecto vận tốc $\vec{v}$ (đơn vị: $km/h$). Tại vị trí $M$, máy bay bị lệch hướng bay và tiếp tục bay thẳng trong vùng có gió 10 phút với vận tốc mới không đổi thì đến vị trí $N(210;303;12)$, biết 1 đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 1 km. Tính tốc độ của gió (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).