Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng 2. Điểm $M,N$ lần lượt nằm trên đoạn thẳng $A{C}^{\prime }$ và $C{D}^{\prime }$ sao cho $\frac{C^{\prime }M}{C^{\prime }A}=\frac{1}{4},\frac{D^{\prime }N}{D^{\prime }C}=\frac{1}{2}$. Tính thể tích tứ diện $C{C}^{\prime }NM$.

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng độ dài cạnh hình lập phương: $d(A,(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }))=AD=2$.
Vì $\frac{C^{\prime }M}{C^{\prime }A}=\frac{1}{4}$ nên khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ là:
$d(M,(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }))=\frac{1}{4}d(A,(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }))=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}$.
Trong mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$, $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ là hình vuông cạnh 2, diện tích $S_{CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }}=2^2=4$.
Vì $N$ là trung điểm của $C{D}^{\prime }$ nên diện tích tam giác $C{C}^{\prime }N$ là:
$S_{\Delta C{C}^{\prime }N}=\frac{1}{4}{S}_{CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{4}\cdot 4=1$.
Thể tích tứ diện $C{C}^{\prime }NM$ là:
$V_{C{C}^{\prime }NM}=\frac{1}{3}d(M,(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }))\cdot S_{\Delta C{C}^{\prime }N}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{6}$.
Chọn A.