Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $A^{\prime }A=2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $A^{\prime }A$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(A{B}^{\prime }C)$ bằng

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ và biết cạnh $BC=12$, góc $\widehat{BAC}=30^{\circ }$, thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng $90\sqrt{3}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AB,AC$. Tính khoảng cách giữa $2$ đường thẳng $MN$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (*chỉ làm tròn kết quả tính toán sau cùng đến hàng phần mười*).

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $3a$. Khoảng cách từ tâm $O$ của mặt đáy đến một mặt bên của hình chóp bằng $a\sqrt{\frac{b}{c}}$, với phân số $\frac{b}{c}$ tối giản và $b>0,c>0$. Tính $T=3c+2b$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{BAD}=60^{\circ }$, $SB=a$ và mặt phẳng $(SBA)$ và mặt phẳng $(SBC)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh bên bằng $a$ và cạnh đáy bằng $2a$ (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa $A^{\prime }B$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $a$, khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ bằng $\frac{a\sqrt{2}}{3}$. Thể tích của khối tứ diện $A{B}^{\prime }B{C}^{\prime }$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân đỉnh $B$, $AB=a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng