Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{2}$ và mặt phẳng $(P):x+y-4z+2020=0$. Góc giữa đường thẳng $\Delta$ với mặt phẳng $(P)$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, giả sử mặt đất trùng với mặt phẳng $(Oxy)$. Một bóng đèn trang trí dạng khối cầu có tâm $I(-1;2;4)$ và bán kính $R$ được treo cố định lên trần nhà (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $\text{m}$). Một con kiến bò tùy ý trên bóng đèn và một con kiến khác bò tùy ý trên mặt đất, giả sử vectơ tạo bởi tọa độ vị trí của $2$ con kiến luôn cùng phương với vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{2}$ (coi mỗi con kiến là một điểm). Biết lúc $2$ con kiến gần nhau nhất có khoảng cách bằng $\frac{57}{10}\text{ (m)}$ (tham khảo hình vẽ bên). Bán kính $R$ của khối cầu có độ dài bao nhiêu $\text{cm}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;3;4)$. Xét các đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và tạo với $(Oyz)$ một góc $45^{\circ }$. Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với mặt phẳng $(Oyz)$. Khi $OM$ nhỏ nhất, $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{\Delta }=(1;a;b)$. Giá trị của $a^2+b^2$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho ba đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-1}$, $d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{2}$ và $d_3:\frac{x}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-3}{-2}$. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d_1$ tạo với đường thẳng $d_2$ một góc lớn nhất và cắt các đường thẳng $d_1,d_2,d_3$ lần lượt tại $A,B,C$ ($B,C$ không trùng với $A$). Thể tích tứ diện $OABC$ bằng

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, tâm $O$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$. Biết rằng góc giữa $MN$ và $(ABCD)$ bằng $60^{\circ }$, côsin của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SBD)$ bằng

Câu 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB=BC=a$, $AD=2a$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $CD$. Tính góc giữa $MN$ và $(SAC)$ theo đơn vị độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $x+y-z-2=0$. Tính cosin của góc tạo bởi đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha )$.