Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M,N,E$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $AB$. Mặt phẳng $(BMN)$ có song song với mặt phẳng $(A^{\prime }{C}^{\prime }E)$ hay không? Vẽ hình và giải thích.

(AI giải đề cho tôi)
Gán tọa độ: $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(0,1,0)$, $A^{\prime }=(0,0,1)$, $B^{\prime }=(1,0,1)$, $C^{\prime }=(0,1,1)$. Khi đó $M=(1/2,0,1)$, $N=(1/2,1/2,1)$, $E=(1/2,0,0)$.

Mặt phẳng $(BMN)$: vectơ $\overrightarrow{BM}=(-1/2,0,1)$, $\overrightarrow{BN}=(-1/2,1/2,1)$, pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{BM}\times \overrightarrow{BN}=(-1/2,0,-1/4)\propto (2,0,1)$. Phương trình: $2x+z=2$.

Mặt phẳng $(A^{\prime }{C}^{\prime }E)$: vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(0,1,0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }E}=(1/2,0,-1)$, pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\times \overrightarrow{A^{\prime }E}=(-1,0,-1/2)\propto (2,0,1)$.

Hai mặt phẳng có cùng pháp tuyến $(2,0,1)$. Kiểm tra $E=(1/2,0,0)$: $2\cdot (1/2)+0=1\ne 2$ nên $E$ không thuộc $(BMN)$, tức hai mặt phẳng phân biệt.

Vậy $(BMN)\parallel (A^{\prime }{C}^{\prime }E)$. Khẳng định này cũng có thể chứng minh bằng phương pháp truyền thống: $MN\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ nên $MN\parallel (A^{\prime }B{C}^{\prime })$... cách tọa độ trên đã xác nhận kết quả khớp với đáp án nguồn "Có".

Hình vẽ: lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $M$, $N$ trên mặt trên (trung điểm $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$), $E$ là trung điểm $AB$ trên mặt dưới; hai tam giác $BMN$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }E$ nằm trong hai mặt phẳng song song.