Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$ và $SD$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $C(2;2;0)$, $O(1;1;0)$, $S(0;0;h)$.
a) $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên $MN\parallel AD\parallel BC$. $O$ là trung điểm $AC$, $M$ là trung điểm $SA$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM\parallel SC$. Vì $MN\parallel BC$, $OM\parallel SC$ với $BC$, $SC$ nằm trong $(SBC)$ và cắt nhau, nên $(OMN)\parallel (SBC)$. Đúng.
b) $N=(0;1;h/2)$, $E=(1;0;0)$. $F$ thuộc $ON$: $F=(1-t;1;th/2)$, $t\in [0;1]$. Vecto $\overrightarrow{EF}=(-t;1;th/2)$. Mặt phẳng $(SBC)$ có phương trình $2hx+4z=4h$. Kiểm tra: $2h(-t)+4\cdot (th/2)=0$, nên $EF$ luôn song song với $(SBC)$; hơn nữa $E$ không thuộc $(SBC)$ vì $2h\cdot 1+0=2h\ne 4h$. Đúng.
c) $MN\parallel AD\parallel BC$ với $BC\subset (SBC)$, $MN\not\subset (SBC)$ ($M$, $N$ không thuộc mặt phẳng này), nên $MN\parallel (SBC)$. Do đó khẳng định "$MN$ không song song với $(SBC)$" là sai.
d) $G$ cách đều $AB$ và $CD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến của hình bình hành song song với $AB$, tức $G$ có tung độ $y=1$. Cũng có $N=(0;1;h/2)$ có $y=1$, vậy đường thẳng $GN$ nằm hoàn toàn trong mặt phẳng $y=1$, song song với mặt phẳng $(SAB)$ (là mặt phẳng $y=0$), và $GN$ không nằm trong $(SAB)$. Đúng.
a) $MN\parallel BC$ (đường trung bình tam giác $SAD$) và $OM\parallel SC$ (đường trung bình tam giác $SAC$), nên $(OMN)\parallel (SBC)$.
b) Với tọa độ $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $S(0;0;h)$: $E(1;0;0)$, $F(1-t;1;th/2)$. Vecto $\overrightarrow{EF}=(-t;1;th/2)$ thỏa mãn phương trình mặt $(SBC)$: $2hx+4z=4h$ cho giá trị không đổi, nên $EF\parallel (SBC)$ với mọi vị trí $F$ trên $ON$, và $E$ không thuộc $(SBC)$.
c) $MN\parallel AD\parallel BC\subset (SBC)$ và $MN\not\subset (SBC)$, nên $MN$ song song với $(SBC)$; khẳng định "không song song" sai.
d) $G$ cách đều $AB$ và $CD$ nên $G$ nằm trên đường trung tuyến song song $AB$ ($y=1$); $N$ cũng có $y=1$, nên $GN$ nằm trong mặt phẳng song song với $(SAB)$ và không nằm trong $(SAB)$, suy ra $GN\parallel (SAB)$.