(5.0 điểm)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AD//BC$, $AD=2BC$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SB$ và $SD$.
1. Chứng minh rằng: $CN//\left(SAB\right)$.
2. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD$, mặt phẳng $\left(GMN\right)$ cắt $SC$ tại $L$. Tính tỉ số $\frac{SL}{SC}$.
3. Một mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi và luôn chứa đường thẳng $MN$. Biết $(\alpha )$ cắt các cạnh $SA,SC$ tương ứng tại $P$ và $Q$. Tính giá trị biểu thức $T=\frac{SA}{SP}+2\frac{SC}{SQ}$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 18**

**1) Chứng minh $CN//(SAB)$.**
Gọi $J$ là trung điểm của $SA$. Trong tam giác $SAD$, $J$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SD$ nên $JN$ là đường trung bình: $JN//AD$ và $JN=\frac{AD}{2}=BC$.
Mà $AD//BC$ nên $JN//BC$, do đó tứ giác $JNBC$ là hình bình hành (có $JN//BC$ và $JN=BC$). Suy ra $CN//JB$.
Vì $JB\subset (SAB)$ và $CN\not\subset (SAB)$ nên $CN//(SAB)$. $■$

**2) Tính $\frac{SL}{SC}$.**
Chọn hệ vectơ gốc $S$: gọi $\vec{a}=\overrightarrow{SA},\vec{b}=\overrightarrow{SB},\vec{d}=\overrightarrow{SD},\vec{c}=\overrightarrow{SC}$.
Vì $AD=2BC$ và $AD//BC$: $\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SA}+2\vec{u}$ với $\vec{u}=\overrightarrow{BC}$, suy ra $\vec{u}=\frac{\vec{d}-\vec{a}}{2}$, và $\vec{c}=\vec{b}+\vec{u}=\vec{b}+\frac{\vec{d}-\vec{a}}{2}$.
Ta có $M=\frac{\vec{b}}{2},N=\frac{\vec{d}}{2},G=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$.
Vectơ trong mặt phẳng $(GMN)$: $\overrightarrow{MN}=\frac{\vec{d}-\vec{b}}{2}$ và $\overrightarrow{MG}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}-\frac{\vec{b}}{2}=\frac{2\vec{a}-\vec{b}+2\vec{d}}{6}$.
Gọi $L=t\vec{c}=t\vec{b}+\frac{t}{2}\vec{d}-\frac{t}{2}\vec{a}$. Biểu diễn $L=\frac{\vec{b}}{2}+\lambda \frac{\vec{d}-\vec{b}}{2}+\mu \frac{2\vec{a}-\vec{b}+2\vec{d}}{6}$, so sánh hệ số:
- theo $\vec{a}$: $\frac{\mu }{3}=-\frac{t}{2}\Rightarrow \mu =-\frac{3t}{2}$;
- theo $\vec{d}$: $\frac{\lambda }{2}+\frac{\mu }{3}=\frac{t}{2}\Rightarrow \frac{\lambda }{2}-\frac{t}{2}=\frac{t}{2}\Rightarrow \lambda =2t$;
- theo $\vec{b}$: $\frac{1}{2}-\frac{\lambda }{2}-\frac{\mu }{3}=t\Rightarrow \frac{1}{2}-t+\frac{t}{2}=t\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{3t}{2}\Rightarrow t=\frac{1}{3}$.
Vậy $\frac{SL}{SC}=\frac{1}{3}$.

**3) Tính $T=\frac{SA}{SP}+2\frac{SC}{SQ}$.**
Gọi $P=p\vec{a}\in SA$, $Q=q\vec{c}\in SC$ (với $p=\frac{SP}{SA},q=\frac{SQ}{SC}$).
Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M,N,P$ nên mọi điểm của nó có dạng $\frac{\vec{b}}{2}+\lambda \frac{\vec{d}-\vec{b}}{2}+\mu \left(p\vec{a}-\frac{\vec{b}}{2}\right)$.
Vì $Q\in (\alpha )$: $q\vec{c}=q\vec{b}+\frac{q}{2}\vec{d}-\frac{q}{2}\vec{a}$. So sánh hệ số:
- theo $\vec{a}$: $\mu p=-\frac{q}{2}\Rightarrow \mu =-\frac{q}{2p}$;
- theo $\vec{d}$: $\frac{\lambda }{2}=\frac{q}{2}\Rightarrow \lambda =q$;
- theo $\vec{b}$: $\frac{1}{2}-\frac{\lambda }{2}-\frac{\mu }{2}=q\Rightarrow \frac{1}{2}-\frac{q}{2}+\frac{q}{4p}=q$.
Suy ra $\frac{1}{2}+\frac{q}{4p}=\frac{3q}{2}$, nhân $4p$: $2p+q=6pq$.
Do đó $T=\frac{SA}{SP}+2\frac{SC}{SQ}=\frac{1}{p}+\frac{2}{q}=\frac{2p+q}{pq}=\frac{6pq}{pq}=6$.
Vậy $T=6$ (không đổi theo mặt phẳng $(\alpha )$).